Опять "удовлетворительно". 

Вот список самых существенных замечаний

По теории
1) на с.4 остаток ряда Тейлора представляет собой величину o((x-x0)^)(n+1))
2) ряд для арксинуса сходится на [-1,1]
3) оценки (13)-(16) на практике не применимы!
4) приведенная формула предельной относительной погрешности верна только для положительного a, причем абсолютная погрешность меньше a
5) при использовании известных результатов необходимо ссылаться на использованные учебные пособия 
6) "Функции y=sin(x) , y=cos(x) имеют период 2*Pi. Поэтому, если x>2*Pi или x<-2*Pi, то путём вычитания или прибавления к аргументу числа, кратного периоду, добьёмся, чтобы аргумент принадлежал промежутку (-Pi, Pi] . "
А что делать с аргументами, модуль которых принадлежит промежутку (Pi, 2*Pi)?
7) в учебниках по математическому анализу есть способы построения ряда для логарифма произвольного аргумента без использования экспоненты. Если же использовать способ с вычислением ряда по формуле (9), то возникают вопросы - как подобрать соотвествующее m? как вычислять exp(m)? какой будет погрешность одного слагаемого?
8) при доказательстве (18) рассмотрены не все случаи, а значит, формула необоснована
9) довольно неудачный способ вычисления x^y - он не работает при отрицательных значениях x, хотя часто при отрицательных x возможно возведение в степень (например, (-2)^5=-32)
10) отсутствует чёткий алгоритм вычисления функций с помощью ряда (без связи с языком программирования и без привязки к выбранному автором формату хранения промежуточных значений)

по программе (язык программирования - паскаль, а среда разработки программы - лазарус)
1) 78,87979^5=" 3054E6" - какую форму вывода Вы используете? это и не экспоненциальная форма, и не с фиксированной точкой
2) если ввести значения с погрешностями ноль, то в ответе выдается ненулевая погрешность действий. Откуда она берется при точном аргументе?!
3) по кнопке "очистить" очищаются только окна на форме, но не значения в памяти
4) при попытке разделить на ноль выдана ошибка, и очистились нужный аргумент и погрешность нуля, но остались на форме погрешность стертого аргумента и второй аргумент ноль. 
5) программа работает "нестабильно" - не всегда возможно воспроизвести полученный ранее результат, очень часто возникает ошибка выполнения операций чисел с плавающей точкой. Так, например, при запуске программы удалось произвести вычисление 2^10 с нулевыми погрешностями аргументов, но после других вычислений результат попытки вычисления 2^10 приводит к ошибке.
6) не понятно, для чего придумано поле Pi"/__", поскольку чаще используется аргумент вида k*пи/n
7) почему не выводятся промежуточные результаты, если верных цифр нет? как обосновать отсутствие верных цифр?
8) неправильно вычисляется (или понимается Вами?) погрешность округления
9) пример: x=231,086, y=0,083, вычислить x+y, x-2800y, x*y, x/y, y/x. Как организовать вычисления с минимальным вводом значений вручную? Кстати, для последнего действия в программе выдаётся неправильный ответ (должно получиться 5верных цифр после запятой, а в программе - нет верных цифр)
10) кнопки работы с памятью не помогают - результаты пропадают неожиданным образом

Главная Ваша ошибка заключается в попытке "объять необъятное". Лучше сделать малый объём идеально, чем пройтись по верхушкам и с ошибками на широком поле исследования. 
Поскольку в силу сформулированных замечаний работа не может быть использована ни как справочный материал по теории, ни как программа для практических расчётов, то оценка по-прежнему "удовлетворительно".