Учебная неделя прошла нормально. Правда, опять я провалился на контрольной работе по аналитической геометрии, первую задачу решил, а вторую задачу стал решать очень длинным способом, не догадавшись ввести декартову систему координат, и мне не хватило времени (полутора часов). Об этом (о том, как простую задачу можно решать длинным способом) я напишу позднее, если будет время).
В субботу также прошла тестовая работа по информатике. Ну, я выполнил её не хуже других студентов, хотя и не блестяще. Из 37 заданий решено 26, 70 процентов. Один студент даже 80 процентов решил. Всё равно, тем, кто набрал не менее 70 процентов, будет поставлена отличная оценка. Там, где надо что-то решать на скорость, при ограниченном времени, я, конечно, выполняю работу весьма посредственно.
За диктант по английскому у меня оценка «хорошо», у меня всего одна ошибка в слове pencil (я написал pensil).
Та девушка снова заходила ко мне ненадолго во вторник, так как ей потребовались иголка и нитки, но она спешила домой, и мы ни о чём почти не поговорили. Она собиралась прийти в субботу потренироваться в решении задач по математическому анализу, подготовиться к колоквиуму, который будет в четверг, но пошла в кино и не смогла зайти. Вероятно, придёт на следующей неделе. Я всегда рад бескорыстно оказать репетиторскую помощь.
К колоквиуму по математическому анализу нам дали задачи. Я решил все эти задачи, и естественно, дал двум студенткам ознакомиться с решением этих задач (Всем же одинаковые задачи задали!) Они почему-то решили меня за это отблагодарить и подарили мне большую шоколадку. Я отказывался, но они положили шоколад мне на стол, и мне пришлось принять их подарок.
На этой неделе некоторые студентки консультировались со мной по поводу решения задач по математическому анализу, информатике, и мне это было весьма приятно – объяснить им что-нибудь, помочь в решении каких-нибудь задач.
Писать больше некогда. По алгебре нам задали на дом интереснейшие задачи: решение систем линейных уравнений с многоточием. Эти задач являются не обязательными, не даются на экзаменах и контрольных работах, но будет весьма пошло и нехорошо, если никто из группы (и я в том числе) их не решит. Мне очень хочется решить эти задачи. Вот, например, на рисунке ниже представлены 14 частных ответов для систем уравнений числом от 2 до 14. Надо решить задачу в общем случае для системы из n уравнений.
Эта задачу я решил в два действия. Из каждой строки вычитается последующая. После этого к первой строке прибавляется каждая третья строка, то есть четвёртая, седьмая, десятая и т. д.
При n=3k в первой строке все элементы становятся нулевыми кроме последнего, равного минус 1, то есть rank=n, и однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение.
При n=3k+1 в первой строке все элементы становятся нулевыми кроме последнего, равного 1, то есть rank=n, и однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение.
При n=3k+2 в первой строке все элементы становятся нулевыми, то есть rank=n-1, и однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение, которое легко находится (и для этого нет необходимости приводить систему к виду Жордано-Гаусса).
Решил и вторую задачу: найти ранг матрицы c параметром x для любого натурального n. (На рисунке ниже показан вид этой матрицы для n=9)
Из каждой строки кроме первой вычитаем следующую. После этого первую строку переставляем на последнее место.
Если x=1/2, то вычитаем из последней строки первую, и получаем нулевую последнюю строку, и единицы на диагонали всех остальных n-1 строк, то есть ранг матрицы в этом случае равен n-1.
Если x не равен 1/2, то после вычитания первой строки из последней строки последнюю строку можно поделить на неравное нулю число 2n-1, после чего снова из последней строки вычесть вторую строку, снова поделить её на 2n-1, вычесть третью строку и поделить после этого на 2n-1, и т.д, то есть вычесть из последней строки все предшествующее строки, производя после каждого вычитания деление на 2n-1, в результате чего получим матрицу с n единицами на главной диагонали, нулями под главной диагональю, ранг которой равен n.
То есть ранг этой матрицы равен n-1 при x=1/2 и равен n при всех других значениях x.
Третья домашняя задача такая: найти матрицу, обратную матрице порядка n, у которой на главной диагонали стоят нули, а все остальные элементы равны единице. Ужасно хочется решить эту оставшуюся задачу до завтра.
Находить обратную матрицу надо методом Жордана-Гаусса.
Вот некоторые ответы:
На главную страницу