Вывод корней кубического уравнения.
1. Приведение уравнения к каноническому виду.
Сделаем замену переменного по формуле:
Получим уравнение:
Раскроем скобки:
Получим уравнение:
или
Уравнение приведено к каноническому виду
Дискриминантом уравнения
называется число:
2. Решение уравнения
Ищем решение в виде:
Получили равенство:
Число
удовлетворяет этому равенству, если числа m и n удовлетворяют системе из двух уравнений:
Находим числа m и n
2.1. Дискриминант меньше нуля:
Уравнение имеет три различных действительных корня.
Найдём модуль комплексных чисел:
и
Модуль этих комплексных чисел равен:
Аргумент числа
равен:
Для k=0, k=1, k=2 получаем решение:
Итак, если дискриминант меньше нуля, то уравнение имеет три различных действительных корня:
2.2. Дискриминант больше нуля:
Уравнение имеет один действительный корень и два комплексно-сопряжённых корня.
При этом для любых комплексных значений кубических корней необходимо выполнение условия:
Примем аргумент F обоих действительных чисел, стоящих под знаком кубического корня, равным нулю. При этом модули этих чисел могут принимать отрицательное значение. Это упростит задачу. (Если бы мы выдвигали требование неотрицательности модуля этих чисел, то, если бы под знаком кубического корня находилось отрицательное число, его аргументу нужно было бы присваивать значение F=Pi, а не F=0)
При извлечении кубического корня из отрицательного модуля получим отрицательный модуль. Аргумент же кубического корня будет принимать 3 значения:
0, 2*Pi/3, 4*Pi/3
Каждое решение y=y1, y=y2, y=y3 будет состоять из суммы двух комплексных чисел:
Число z1 находится в группе из трёх чисел:
Число z2 находится в группе из трёх чисел:
Для действительных значений кубических корней выполняется условие:
Поэтому действительный корень уравнения:
Учитывая равенство
получим два комплексно сопряжённых корня:
Итак, если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет один действительный корень и два комплексно-сопряжённых корня:
2.3. Дискриминант равен нулю:
Уравнение имеет три действительных корня, и два корня из трёх обязательно совпадают друг с другом.
Рассуждая точно так же, как в случае с положительным дискриминантом, учитывая равенство
из формул корней уравнения с положительным дискриминантом получим:
Итак, если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет три действительных корня, и два корня из трёх обязательно совпадают друг с другом:
3. Решение кубического уравнения:
Это уравнение получается из уравнения
путём замены переменной
Дискриминант этого уравнения равен:
где