Вычисление расстояния между двумя прямыми и координат концов общего перпендикуляра.
Координаты концов общего перпендикуляра к двум скрещивающимся или пересекающимся прямым.
В пространстве даны четыре точки:
Прямые AB и CS являются скрещивающимися или пересекающимися.
Найти координаты концов общего перпендикуляра к прямым AB и CS
Пусть выполняются пять условий:
- Точка M(xm, ym, zm) принадлежит прямой AB ;
- Точка N(xn, yn, z6) принадлежит прямой CS ;
- Прямая MN перпендикулярна прямой AB ;
- Прямая MN перпендикулярна прямой СS ;
- Прямые AB и СS не являются параллельными;
Координаты векторов:
Выполняются пять следующие пять условий:
Координаты параллельных (коллинеарных) векторов пропорциональны.
Скалярное произведение перпендикулярных (ортогональных) векторов равно нулю.
Векторное произведение неколлинеарных векторов не равно нулевому вектору. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов строго больше нуля.
По условию, так как прямые AB и CS не параллельны, векторное произведение векторов
Выполняются следующие пять условий:
Выражаем из первых двух уравнений xm, ym, zm, xn, yn, zn
Находим координаты вектора MN
Подставляя xm, ym, zm, xn, yn, zn в третье и четвёртое уравнение, найдём m и n:
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными m, n:
Замечаем, что
Имеем следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными m, n:
Так как квадрат скалярного произведения неколлинеарных векторов всегда строго меньше произведения квадратов модулей этих векторов, главный определитель этой системы:
Поэтому данная система имеет единственное решение.
Координаты концов общего перпендикуляра [MN] к двум скрещивающимся прямым. Отрезок [MN] перпендикулярен AB и перпендикулярен SC
Координаты точки M(xm, ym, zm), лежащей на прямой AB:
Координаты точки N(xn, yn, zn), лежащей на прямой SC:
Координаты концов общего перпендикуляра к скрещивающимся (или пересекающимся) прямым AB и CS:
где
Расстояние между непараллельными прямыми.
Два способа вычисления расстояния между непараллельными прямыми.Расстояние между непараллельными прямыми AB и SC может быть найдено по формуле:
где
Расстояние между непараллельными прямыми AB и SC может быть найдено вторым способом, как высота параллелепипеда, сторонами основания которого являются [AB] и [SC], а боковым ребром является [AS].
Перенеся начало вектора SC в точку A, построим параллелепипед на векторах AB, SC, AS, объём которого равен модулю смешанного произведения векторов AB, SC, AS, а площадь основания равна модулю векторного произведения векторов AB и SC. Расстояние между прямыми AB и SC равно высоте этого параллелепипеда, построенного на векторах AB, SC, AS:
Векторное произведение векторов AB и SC имеет координаты:
Модуль векторного произведения векторов AB и SC:
Модуль смешанного произведения векторов AS, AB, SC:
Кратчайшее расстояние между прямыми AB и CS может быть найдено по формуле:
Расстояние между параллельными прямыми AB и CS
Расстояние между параллельными прямыми AB и CS равно расстоянию от точки S(xs, ys, zs) до прямой AB.Существуют также два способа нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, то есть два способа нахождения расстояния от точки до прямой. Сначала найдём координаты проекции точки на прямую. Прямая AB задана координатами двух её точек
Задана точка
Точка K является проекцией точки S на прямую AB.
Найти координаты точки K
Для нахождения координат точки K используем условия:
- Векторы AK и AB – коллинеарны, их координаты пропорциональны;
- Векторы SK и AB ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ;
Из первого уравнения
Подставляя xk, yk, zk во второе уравнение, находим t:
Координаты проекции точки S на прямую AB, то есть координаты точки K(xk, yk, zk):
Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:
Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено вторым способом, как высота параллелограмма, сторонами которого являются [AB] и [AS].
Векторное произведение векторов AB и AS имеет координаты:
Модуль векторного произведения векторов AB и AS:
Модуль вектора AB:
Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:
Программа «Вычисление расстояния между двумя прямыми и координат концов общего перпендикуляра».
Программа «Вычисление расстояния между двумя прямыми и координат концов общего перпендикуляра».Версия от 15 декабря 2012 года.
